Méthode de "Malliavin-Stein" multi-dimensionelle sur l'espace de Poisson: application aux théorèmes centraux limites

28 Nov 2011In this dissertation we focus on limit theorems and probabilistic approximations. A ''limit theorem'' is a result stating that the large-scale structure of some random system can be meaningfully approximated by some typical probability distribution. Distinguished examples are the Central Limit Theorem, the Donsker invariance principle, as well as the circular and semicircular laws in random matrix theory. On the other hand, we call a ''probabilistic approximation'' any mathematical statement allowing one to assess the distance between the laws of two random elements. When one of the distributions is Gaussian, one refers to a ''normal approximation''. CLTs and associated normal approximations are one of the recurring themes of the whole theory of probability. In the last five years, I. Nourdin, G. Peccati and other authors have developed a new theory of normal and non-normal approximations for random variables on the Wiener space, based on the use of an infinite-dimensional calculus of variations, known as the ''Malliavin calculus'', as well as the well-known ''Stein's method'' for probabilistic approximations. Their work generalizes previous findings by D. Nualart and G. Peccati about limit theorems on Wiener chaos . After that, G. Peccati, J.L. Solé, M.S. Taqqu and F. Utzet extended this method to the framework of normal approximations on the Poisson space. The aim of this dissertation is to extend the findings of above references , in order to study multi-dimensional Central Limit Theorems on the Poisson space, as well as several extensions.Dans cette thèse nous nous concentrons sur l'établissement de certains théorèmes limite et l'approximations probabilistes. Un théorème limite est un résultat indiquant que la structure à grande échelle de certains systèmes aléatoires peut être véritablement approchée par une distribution de probabilité typique. Les exemples classiques sont le Théorème Central Limite , le principe d'invariance de Donsker, etc. D'autre part, nous appelons approximation probabiliste toute formalation mathématique permettant d'évaluer des distances entre les lois de deux éléments aléatoires. Lorsque l'une des distributions est gaussienne, on parle d'approximation normale. Le TCL et l'approximation normale associée sont l'un des thèmes récurrents de toute la théorie des probabilités. Au cours des cinq dernières années, I. Nourdin, G. Peccati et d'autres auteurs ont développé une nouvelle théorie d'approximations normales et non normales pour des variables aléatoires sur l'espace de Wiener, qui est basée sur l'utilisation d'un calcul de variations de dimension infinie, connu sous le nom de ''calcul de Malliavin'', ainsi que la célèbre ''méthode de Stein'' pour les approximations probabilistes. Leur travail généralise les résultats précédents par D. Nualart et G. Peccati à propos de théorèmes limite portant sur les chaos de Wiener. Après cela, G. Peccati, J. L. Solé, M.S. Taqqu et F. Utzet ont étendu cette méthode pour obtenir des approximations normales sur l'espace de Poisson. L'objectif de cette thèse est d'obtenir des TCLs multi-dimensionnels sur l'espace de Poisson, ainsi que plusieurs extensions